La geometría del problema inverso de la mecánica lagrangiana

Es bien conocido que las ecuaciones de Euler-Lagrange, que son la base de la mecánica clásica, pueden ser obtenidas a partir del principio variacional de Hamilton. Dicha formulación variacional es de vital importancia en la física teórica. El problema inverso de la mecánica lagrangiana consiste en lo siguiente: establecer cuando se le puede asociar a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden un principio variacional, es decir ver si estas ecuaciones se pueden reescribir como las ecuaciones de Euler-Lagrange para un cierto lagrangiano. Dicho problema esta caracterizado por la existencia de una matriz de funciones verificando las famosas condiciones de Helmholtz (1821-1894). El objetivo de este trabajo es analizar el problema desde una perspectiva geométrica, y llegar a una versión de las condiciones de Helmholtz independiente de las coordenadas. Esta memoria se puede considerar como una posible extensión de parte de los conocimientos adquiridos en la materia del Master en Matemáticas: Métodos Matemáticos de la Física.