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Geometría ergódica y asintótica de grafos aleatorios

por Vázquez Martínez, Antón Carlos

Libro

Un subgrafo aleatorio de un grafo de Cayley es una variable aleatoria donde los estados son subgrafos conexos del grafo de Cayley de un grupo G con un sistema finito de generadores. Todos estos grafos están enraizados en el elemento neutro. El método principal de construcción de subgrafos aleatorios de un grafo de Cayley consiste en borrar o conservar las aristas del grafo de Cayley. Lyons y Schramm introducen una importante propiedad en este contexto denominada tolerancia a la inserción: insertar una arista en un boreliano de medida positiva mantiene la medida positiva.

El espacio de estados de un subgrafo aleatorio de un grafo de Cayley se conoce como espacio de Gromov-Hausdorff del grafo de Cayley. La acción del grupo G sobre los vértices del grafo de Cayley proporciona una familia de transformaciones parciales que genera un pseudogrupo cuya relación de equivalencia orbital R es boreliana discreta. La repetitividad de un subgrafo es equivalente a la minimalidad de la clausura de su órbita.

El lema fundamental de esta memoria aplicado en el contexto de la percolación implica que la tolerancia a la inserción y la repetitividad son incompatibles. Este lema se aplica tanto sobre la percolación de Bernoulli, como sobre la Ginvariante y la percolación con decorados. En todos estos contextos la ergodicidad sobre los clústeres infinitos se consigue porque, como demuestran D. Gaboriau y R. Lyons, es equivalente a la indistinguibilidad de clústeres infinitos, propiedad que se obtiene gracias a un resultado de R. Lyons y O. Schramm.

La utilidad del lema fundamental no se limita a los grafos aleatorios, sino que puede aplicarse al estudio de otros sistemas dinámicos como son las cadenas de Markov topológicas o “subshifts” de tipo finito. El lema fundamental permite distinguir comportamientos ergódicos diferentes con las medidas de Markov dependiendo de que el espacio de configuración esté formado por cadenas bidireccionales, o unidireccionales. Por un lado, en el caso de cadenas bidireccionales, todos los minimales tienen medida nula. Mientras que por el contrario, para las cadenas unidireccionales, el soporte de la medida es el único minimal.

Un grafo aleatorio es una variable aleatoria donde los estados son clases de isomorfía de grafos enraizados localmente finitos. El espacio de estados es un espacio métrico polaco, dotado de una relación de equivalencia étale que consiste en cambiar el punto base. En esta memoria se relaciona este concepto con el de subgrafo aleatorio de un grafo de Cayley.

El pseudogrupo de transformaciones locales que genera la relación R sobre el espacio de Gromov-Hausdorff de un grafo de Cayley dota a la R de una estructura de grafo en el sentido de Gaboriau. Con esta estructura de grafo la clase de equivalencia de un elemento H del espacio de Gromov-Hausdorff es isomorfa al cociente de H por su isotropía. Esta asignación define una aplicación boreliana gracias a la cual, cada subgrafo aleatorio determina un grafo aleatorio.

El resultado principal de la última parte de esta memoria consiste en demostrar que los espacios de Gromov-Hausdorff asociados a un grafo de Cayley de un grupo libre con 3k generadores son, en cierto sentido, espacios universales para los espacios de estado de grafos aleatorios de valencia acotada por k


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Un subgrafo aleatorio de un grafo de Cayley es una variable aleatoria donde los estados son subgrafos conexos del grafo de Cayley de un grupo G con un sistema finito de generadores. Todos estos grafos están enraizados en el elemento neutro. El método principal de construcción de subgrafos aleatorios de un grafo de Cayley consiste en borrar o conservar las aristas del grafo de Cayley. Lyons y Schramm introducen una importante propiedad en este contexto denominada tolerancia a la inserción: insertar una arista en un boreliano de medida positiva mantiene la medida positiva.

El espacio de estados de un subgrafo aleatorio de un grafo de Cayley se conoce como espacio de Gromov-Hausdorff del grafo de Cayley. La acción del grupo G sobre los vértices del grafo de Cayley proporciona una familia de transformaciones parciales que genera un pseudogrupo cuya relación de equivalencia orbital R es boreliana discreta. La repetitividad de un subgrafo es equivalente a la minimalidad de la clausura de su órbita.

El lema fundamental de esta memoria aplicado en el contexto de la percolación implica que la tolerancia a la inserción y la repetitividad son incompatibles. Este lema se aplica tanto sobre la percolación de Bernoulli, como sobre la Ginvariante y la percolación con decorados. En todos estos contextos la ergodicidad sobre los clústeres infinitos se consigue porque, como demuestran D. Gaboriau y R. Lyons, es equivalente a la indistinguibilidad de clústeres infinitos, propiedad que se obtiene gracias a un resultado de R. Lyons y O. Schramm.

La utilidad del lema fundamental no se limita a los grafos aleatorios, sino que puede aplicarse al estudio de otros sistemas dinámicos como son las cadenas de Markov topológicas o “subshifts” de tipo finito. El lema fundamental permite distinguir comportamientos ergódicos diferentes con las medidas de Markov dependiendo de que el espacio de configuración esté formado por cadenas bidireccionales, o unidireccionales. Por un lado, en el caso de cadenas bidireccionales, todos los minimales tienen medida nula. Mientras que por el contrario, para las cadenas unidireccionales, el soporte de la medida es el único minimal.

Un grafo aleatorio es una variable aleatoria donde los estados son clases de isomorfía de grafos enraizados localmente finitos. El espacio de estados es un espacio métrico polaco, dotado de una relación de equivalencia étale que consiste en cambiar el punto base. En esta memoria se relaciona este concepto con el de subgrafo aleatorio de un grafo de Cayley.

El pseudogrupo de transformaciones locales que genera la relación R sobre el espacio de Gromov-Hausdorff de un grafo de Cayley dota a la R de una estructura de grafo en el sentido de Gaboriau. Con esta estructura de grafo la clase de equivalencia de un elemento H del espacio de Gromov-Hausdorff es isomorfa al cociente de H por su isotropía. Esta asignación define una aplicación boreliana gracias a la cual, cada subgrafo aleatorio determina un grafo aleatorio.

El resultado principal de la última parte de esta memoria consiste en demostrar que los espacios de Gromov-Hausdorff asociados a un grafo de Cayley de un grupo libre con 3k generadores son, en cierto sentido, espacios universales para los espacios de estado de grafos aleatorios de valencia acotada por k


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