Witten’s perturbation and Lefschetz formula on singular spaces

A xeneralización de diversos temas de análise global de variedades riemannianas compactas ou completas ao caso de estratos con métricas adaptadas, que non son compactos nin completos, foi iniciada por Cheeger arredor de 1980. Actualmente está collendo un impulso grande polas contribucións doutros matemáticos importantes. En particular, o director desta tese foi coautor dunha versión analítica das desigualdades de morse en estratos, equipados coas denominadas métricas adaptadas. Concretamente, nese contexto, estudouse unha versión da deformación de Witten do complexo de de Rham inducido por unha "función de Morse". Neste caso, as "funcións de Morse" usadas poden ter "puntos críticos" na compleción métrica da variedade, pois non é compacta nin completa. Pola mesma razón, pode haber diversos complexos de Hilbert asociados, dando lugar a unha complexidade analítica moi grande. En variedades compactas, ademais das desigualdades de Morse, o programa de Witten continúa considerando o complexo de autoformas asociadas a autovalores "pequenos" cando o parámetro do complexo de Witten tende a infinito, que debería ser isomorfo ao complexo de Morse-Thom-Smale, definido polos puntos críticos da función de Morse e as órbitas que os unen. Para variedades compactas, este programa foi levado a cabo independentemente por Bismut-Zhang e Helfer-Sjöstrand. Para estratos con métricas adaptadas, a única xeneralización só nun caso moi restritivo foi feita por Ludwig, quedando aberto o caso de estratos arbitrarios con métricas adaptadas xerais. Outro tema neste ámbito que permanece aberto é o da xeneralización a estratos da versión analítica da fórmula de Leftchetz, así como os teoremas de Hopf e do índice para estruturas spin. A hipótese de partida é que deben ser certas as posibles xeneralizacións a estratos indicadas antes.